Question

已知函数f(x)满足f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2012)=?

Answer 1

令y=2，根据f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
有f(x)=f(x+2)+f(x-2)
x=2010 f(2010)=f(2012)+f(2008)
x=2008 f(2008)=f(2010)+f(2006)
两式相加：f(2012)+f(2006)=0
x=2004 f(2004)=f(2006)+f(2002)
x=2002 f(2002)=f(2004)+f(2000)
两式相加：f(2002)+f(2006)=0
即f(2012)=f(2000)
采用上面同样的方法可以证明f(2000)=f(1988)=f(1976)=...
即函数f（x）是以12为周期的函数
f(2012)=f(8+12*167)=f(8)
x=4 f(4)=f(6)+f(2)
x=6 f(6)=f(8)+f(4)
两式相加的：f(8)+f(2)=0，即f(2012)=f(8)=-f(2)=-1/2