Question

高2 数学上期末检测题！！急

1、已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条准线放出为x=9/5，一个顶点到一条准线的距离为12/5。
（1）求双曲线的方程
（2）动点P到双曲线C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数（大于AF的绝对值）且cos<APF的最小值为-7/25，求动点P的轨迹方程

2、已知点P（-8，2）,B（-3，1/2），直线L：y=-1，圆M：x^2+y^2+11x+6y+33=0.
（1）在L上找一点A，使|PA|-|BA|最大；
（2）过点P作圆M的切线，求切点坐标；

要详细步骤~~~~~~~

Answer 1

1解：
(1)令c²=a²+b² (c>0)，
则9/5=a²/c，12/5=a-9/5或者12/5=a+9/5 (一个顶点到一条准线的距离为12/5,抛物线有两顶点，两准线)
解之：a=21/5,c=49/5,b²=2401/25；或a=3/5,c=1,b²=16/25；
故双曲线的方程为C：25x²/441-25y²/2401=1或C：25x²/9-25y²/14=1
(2)
当双曲线为C：25x²/9-25y²/14=1时：其左顶点A(-3/5,0)；右焦点为F(1,0)；
又|PA|+|PF|>|AF|且为一常数；
则由椭圆定义可知：P的轨迹为以点(1/5,0)为中心，左焦点A(-3/5,0)；右焦点为F(1,0)的椭圆；
则焦点A、B到该椭圆对称轴x=1/5 的距离为4/5 ；
则可设P：(x-1/5)²/m²+y²/[m²-(4/5)²]=1；
则椭圆与对称轴x=1/5的一个交点为点P1(1/5,√[m²-(4/5)²])
由椭圆性质可知当P运动到P1时，∠APF(max)=∠AP1F；故cos∠APF(min)=cos∠AP1F=-7/25
向量P1A=(-4/5,-√[m²-(4/5)²])，P1F=(4/5,-√[m²-(4/5)²]) ；|P1A|=m=|P1F| ；
故cos∠AP1F=P1A*P1F/(|P1A||P1F|)=[-16/25+m²-(4/5)²]/m²=-7/25 ；解之：m²=1；
故动点P的轨迹方程P：(x-1/5)²+25y²/9=1 ；
当双曲线为C：25x²/441-25y²/2401=1时：
同理可得动点P的轨迹方程P：16(x-14/5)²/1225+16y²/441=1 。
2解：
(1)可知：直线BP：y=-3x/10-2/5 ；
当A不在直线BP上，则P、A、B构成三角形，故|PA|-|BA|<|PB|
当A在直线BP上，则|PA|-|BA|=|PB|或-|PB| ；
故当A为直线BP：y=-3x/10-2/5 与直线L：y=-1 的交点时，|PA|-|BA|=|PB|最大
设交点A(a,-1),则-1=-3a/10-2/5，解之：a=2
故当A(2,-1)时，|PA|-|BA|最大，且|PA|-|BA|=|PB|=√(-8+3)²+(2-1/2)²=√109/2 ；
(2)圆M：x^2+y^2+11x+6y+33=0；即圆M：(x+11/2)²+(y+3)²=(5/2)² ；圆心M(-11/2,-3)；
设切点为Q(-11/2+5cosb/2,-3+5sinb/2)；则K(MQ)=tanb ；
K(PQ)=(2+3-5sinb/2)/(-8+11/2-5cosb/2)=(sinb-2)/(1+cosb) (PQ斜率存在时)；
由直线PQ为圆M的切线，Q为切点，可知：K(MQ)K(PQ)=-1 ；
即tanb(sinb-2)/(1+cosb)=-1，解之：sinb=4/5,cosb=3/5 ；
则切点Q坐标为Q(-4,-1) ；
又当PQ斜率不存在时，切点Q(-8,-3)满足条件；
故切点坐标为Q(-4,-1) 或Q(-8,-3) 。
希望能帮到你！