Question

已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），且f(4)=1,对于任意实数X1,X2∈（0，+∞），有f(X1*X2)=f(x1)+f(x2)

当x1＞x2是有f(x1)＞f(x2).
⑴确定函数的解析式
⑵若f(3x+1)+f(2x-6)≤3,求x的取值范围

Answer 1

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1),得f(1)=0
f(X1*X2)=f(x1)+f(x2) 这满足对数函数的性质
又f(4)=1
那么f(x)=log4 x

2) f(4)=1,得f(12)=3f(4)=3,所以
原不等式可化为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(12),
由f(x)递增，得 (3x+1)(2x-6)≤12,且3x+1>0,2x-6>0,
解得 3<x≤(4+根号43)/3.