Question

高中数学：几何曲线的问题

已知直线L：y=x+1与曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点。
（1）若OA的绝对值=OB的绝对值，求证：曲线C是一个圆
（2）若OA垂直OB，当a>b且a∈[（√6）/2，（√10）/2]时，求曲线C的离心率e的取值范围
答案+过程，致谢。

Answer 1

设直线L：y=x+1与曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)
交于不同的两点A（x1,y1）B（x2,y2）
则y1=x1+1，y2=x2+1，x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
所以y1-y2=x1-x2, （x1^2-x2^2）/a^2+（y1^2-y2^2）/b^2=0

（1）因为|OA|=|OB|，所以x1^2+y1^2=x2^2+y2^2。
所以（x1^2-x2^2）=-（y1^2-y2^2）
代入（x1^2-x2^2）/a^2+（y1^2-y2^2）/b^2=0
得a=b，所以曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个圆

（2）将y=x+1代入曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1
化简得（a^2+b^2）x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0
所以x1+x2=-2a^2/（a^2+b^2），x1x2=a^2（1-b^2）/（a^2+b^2），
所以y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=b^2（1-a^2）/（a^2+b^2）
因为OA垂直OB，所以x1x2+y1y2=0
所以a^2（1-b^2）+b^2（1-a^2）=0
因为a>b，所以曲线C：x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个焦点在x轴上的椭圆。
将b^2=a^2-c^2代入并化简得2a^2-c^2+2a^2c^2-2a^4=0
两边同除于a^4
得2/a^2-e^2/a^2+2e^2-2=0
所以（2-e^2）/（2e^2-2）=a^2
因为a∈[（√6）/2，（√10）/2]
所以3/2≤（2-e^2）/（2e^2-2）≤5/2
解得7/6≤e^2≤5/4
所以√42/6≤e≤√5/2。