Question

一道数学初三几何题，和圆有关

如图，直线L经过圆O的圆心O，且与圆O交于A、B两点，点C在圆O上。且角AOC=30°，点P是直线L上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与圆O相交于点Q。
1、是否存在点P，使得QP=QO
2、若存在，满足上述条件的有几个？并求出相应的角OCP的大小，若不存在，请简要说明理由。

Answer 1

一楼中，当CQ⊥OP时，QO是斜边，而QP是直角边，不可能有QO＝QP

二楼中，点P与点B重合时，点Q也与点P重合，此时QP退化成一个点，而QO是半径，也不可能相等

我的解答如图所示：

Answer 2

1、存在点P，使QP=QO
2、有两个点满足上述条件。
P点分别与点B重合时满足条件，点Q与点P重合，角OCP=15°
当点P在线段OA上时，设角OCP=x，则角OQP=x（等腰三角形）
连接CA，角QOP=角OPQ=角CPA，角OAC=角OCA=75°，角ACP=75°-x
角CPA=180°-角OAC-角ACP=180°-75°-（75°-x）=30+x，则角QOP=30+x
角QOP+角AOC+角OCP+角OQP=180°
（30+x）+30+x+x=180，得x=40°

Answer 3

存在
鄙人无才，认为只有一个。CQ⊥OP，角OCP=60度