Question

如图，已知直线y=二分之一x与双曲线y=x分之k（k>0）交于A，B两点，且A点的横坐标(3)……

过原点的另一条直线L交双曲线y=x分之k（k>0）于P,Q两点（P点在第一象限），若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P坐标。
如图，已知直线y=二分之一x与双曲线y=x分之k（k>0）交于A，B两点，且A点的横坐标为4.
（1）求K的值 答：8
（2）若双曲线Y=X分之K（K>0）上一点C的纵坐标为8，求三角形AOC的面积
(3)过原点的另一条直线L交双曲线y=x分之k（k>0）于P,Q两点（P点在第一象限），若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P坐标。
(有两个答案！)

Answer 1

因为点A横坐标为4,所以当 x=4时y=2.
所以,点A的坐标是(4,2).
因为点A是直线y=1/2x与双曲线y=8/x(k>0)的交点,所以,k=4×2=8.
(2)因为点C在双曲线上,当y=8时,x=1.所以,点C的坐标是(1,8).
过点A,C分别作x轴,y轴的垂线,垂足为M,N,得矩形DMON.
矩形ONDM的面积=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4.
S△AOC=矩形ONDM面积-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.
(3)因为反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,所以,OP=OQ,OA=OB.
所以,四边形APBQ是平行四边形.
所以,S△POA=1/4S平行四边形APBQ=1/4×24=6.
设点P的横坐标为m(m>0,且m≠4),得P(m,8/m).
过点P,A分别作x轴的垂线,垂足为E,F.
所以,点P,A在双曲线上,所以,S△POE=S△AOF=4.
若0<m<4,
因为S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF.
所以,S梯形PEFA=S△POA=6.
解得m=2,m=-8(舍去).
所以,P(2,4).
若m>4,如图4.
因为S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
所以,S梯形AFEP=S△PSA=6.
所以,1/2×(2+8/m)×(4-m)=6.
解得m=9,m=-2(舍去)
所以,P(8,1).
综上所述,P的坐标为P(2,4)或P(8,1).

Answer 2

1）解：y=x/2 =4/2=2 所以 A（4,2）
2=k/4 得k=8
2）y=8/x=8 得x=1 所以C(1,8)
三角形AOC的面积 为 1*8/2+（8+2）3/2－ 4*2/2=4+15-4=15
3）p(a,8/a) a＞0
x/2=8/x 得x=±4 所以B（-4，-2）
过P的直线方程为 y=8x/a²
所以Q(-a,-8/a)

Answer 3

P（9，2分之1）
根据A（3，？）求出双曲线中k=2分之9，设P（x，9x/2），此四边形为平行四边形，且S△OAP=1/4S四边形，∴S△OPA=6，分类讨论：1,、直线L斜率大于已知直线，根据面积列式求出x=0或-1，舍；2、直线L斜率小于原直线，解得x=9或-1，∵x大于0∴x=9，带入双曲线得解。

Answer 4

（1）y=x/2，y=k/x，
x=4时，y=2，故k=8，
（2）可得C（1,8），而A（4,2），B（-4，-2），
三角形AOC的面积就是在x轴投影为宽，在y轴投影为高，
S△AOC=（4-（-4））*（8-（-2））／2=40，
(3)设P（x，y），x、y＞0，
根据直线L过原点，和双曲线y=8/x关于原点对称，可知Q（-x，-y），
当x＜4时，则四边形ABPQ在x轴投影为AB在x轴的投影为宽，在y轴投影为PQ在y轴的投影为高，
有S四边形=2y*8／2=24，得y=3，则x=8/3，
当x＞4时，则四边形ABPQ在x轴投影为PQ在x轴的投影为宽，在y轴投影为AB在y轴的投影为高，
有S四边形=2x*4／2=24，得x=6，则y=4/3，
故P为（8/3,3）或（6,4/3）。

Answer 5

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