Question

一道二次函数压轴题，高手帮忙啊！

在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax^2-2ax+4经过点A。
（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上;
（2）如图14－2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC－PD|的值最大时点P的坐标
（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标，若不存在，请说明理由。

图片在http://hi.baidu.com/%D3%C0%85%C4%BF%DE%C6%FC/album/item/82cfb0d25802118ca9ec9afd.html#

Answer 1

解：
1）将A（4,0）代人y=ax^2-2ax+4，得，
a*4^2-2a*4+4=0,
解得，a=-1/2,
所以抛物线为y=(-1/2)x^2+x+4,对称轴为x=1,
将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，D(-2,0)
当x=-2,y=（-1/2)*(-2)^2-2+4=0，
所以D在该抛物线上
2)在三角形PCD中，由两边之和小于第三边，
所以|PC－PD|<CD,
当P在线段DC延长线上时，|PC－PD|的值最大，为CD的长，
过C(0,4),D(-2,0)的直线为y=2x+4,
当x=1时，y=6
所以与抛物线对称轴交点为（1，6），
所以|PC－PD|的值最大时点P的坐标（1，6）
3）有两种情况，
第一种，过D作DE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥x轴于F,
显然△OCD∽△FDE,
所以EF/DF=DO/CO=1/2,
所以DF=2EF,
设F(x,0),则DF=x+2,则E[x,-(x+2)/2]
因为E在抛物线上，
所以(-1/2)x^2+x+4=-(x+2)/2
整理x^2+3x-10=0,
解得x1=-2(舍去),x2=5
所以E(5,-7/2)
第二种，过C作CE⊥CD,交抛物线于E,过E作EF⊥y轴于F,
显然△OCD∽△FEC,
所以CF/EF=DO/CO=1/2,
所以EF=CF,
设E的横坐标为x,则CF=x/2,
因为E在抛物线上所以OF=(-1/2)x^2+x+4,
因为OC=OF+CF=OF+x/2
所以(-1/2)x^2+x+4+x/2=4,
整理x^2-3x=0,
解得x1=0(舍去),x2=3
所以E(3,5/2)
所以符合条件的有两点(3,5/2),(5,-7/2)

Answer 2

抛物线的函数表达式：y=-(1/2)x² +x +4
点D在该抛物线上

P在DC延长线上，最大值=CD
点P的坐标(1,6)

分别过C、D做CD的垂线，和抛物线的交点即为E.
直线y=-(1/2)x + 4和抛物线交点，直线y=-(1/2）x -1 和抛物线的交点即为E。
E点坐标（3，5/2）和 （5，-7/2）