Question

用数学归纳法证明：12+22+32+……+n2=1/6 n（n+1）（2n+1）。

其实是1的平方+2的平方+3的平方+……+n的平方=六分之一n(n+1)(2n+1)

Answer 1

当n=1时0，左边=1^2=1，右边=1/6*1*2*3=1，成立
设当n=k时成立，即1^2+2^2+3^2+.....+k^2=1/6k(k+1)(2k+1)
当n=k+1时，1^2+2^2+3^2+.....+k^2+(k+1)^2=1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
=1/6(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]
=1/6(k+1)(2k^2+7k+6)
=1/6(k+1)(k+2)(2k+3)
=1/6(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1] 成立
所以
1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

Answer 2

12+22+32+...+n2
=10+20+30+...+n*10 +2*n
=10*(1+2+3+...n)+2n
=10*(n*(n+1)/2)+2n
=5n*(n+1)+2n
=n*(5n+7)

n*(5n+7) 不等于1/6 n（n+1）（2n+1），题目有错。

Answer 3

当n=1时，1/6 n（n+1）（2n+1）=1^2
设当n=k时，1/6 k（k+1）（2k+1）=1^2+……+k^2
则当n=(k+1)时，1^2+……+k^2+(k+1)^2=1/6 k（k+1）（2k+1）+(k+1)^2
=(k+1)[1/6k(2k+1)+(k+1)]=1/6(k+1)[2k^2+7k+6]
=1/6(k+1)(k+2)(2k+3)
=1/6(k+1)[(k+1)+1][(2(k+1)+1]