Question

规定Cx(m)=x(x-1)(x-2)```(x-m+1)/m的阶乘，x是实数，m是正整数，Cx（0)=1,这是组合数Cm（n）的推广

（1）求c-15（5）的值
（2）组合数的两个性质是否都能推广，给出证明
（3）已知组合数Cm（n）是正整数，证明当x属于Z，m是正整数时，Cx（m）属于Z

Answer 1

：（1）由题意C-15(3)=-15×(-16)×(-17)3!=-C17(3)=-680
（2）性质①Cnm=Cnn-m不能推广，例如x=2时，C12有定义，但C2-12无意义；
性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广，它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m，x∈R，m∈N*
证明如下：当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11；
当m≥2时，有Cxm+Cxm-1=x(x-1)…(x-m+1)m!+x(x-1)…(x-m+2)(m-1)!=x(x-1)…(x-m+2)(m-1)!×((x-m+1)m+1)=x(x-1)…(x-m+1)(x+1)m!=Cx+1m，
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数Cxm∈z成立；
当0≤x＜m 时，Cmx=x(x-1)(x-2)⋅⋅⋅0⋅⋅⋅(x-m+1)/m!=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴Cxm=x(x-1)…(x-m+1)m!=（-1）m(-x+m-1)…(-x+1)(-x)m!=（-1）mC-x+m-1m∈z
综上所述当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z