Question

高中数学椭圆题求解（麻烦详细讲一下，谢谢~）

椭圆C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ，离心率为√3/2 ，过右焦点F且斜率为k (k＞0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量，则k=?

答案：√2

非常感谢~

Answer 1

椭圆C：x²/a²+ y²/b² = 1 ，离心率为√3/2 ，过右焦点F且斜率为k (k＞0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量，则k=?
解; 设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)
e=c/a=√3/2,故a=2c/√3, b=√(a²-c²)=√(4c²/3-c²)=c/√3=a/2.
故椭圆方程可改写为：3x²+12y²=4c².................(1)
设直线方程为y=k(x-c), 即x=(y/k)+c,代入（1）式得：
3(y/k+c)²+12y²=4c²， 3（y²/k²+2cy/k+c²)+12y²=4c²，3y²+6cky+12k²y²-c²k²=0
于是得：3(1+4k²)y²+6ck²y-c²k²=0
故y₁+y₂=-2ck²/(1+4k²)..............(1)
y₁y₂=-c²k²/3(1+4k²)...............(2)
∵│AF│/│BF│=│y₁│/│y₂│=3, ∴│y₁│=3│y₂│, 又因为 y₁与y₂异号，
故有y₁=-3y₂代入（1）（2）并化简得：
y₂=ck²/(1+4k²)...........................(3)
3(y₂)²=c²k²/3(1+4k²)..................(4)
将（3）代入（4）得等式：
3[ck²/(1+4k²)]²=c²k²/3(1+4k²)，(消去c²,提公因式）
[k²/(1+4k²)][3k²/(1+4k²)-1/3]=0
k≠0,故有3k²/(1+4k²)-1/3=0
化简得9k²-(1+4k²)=0, 5k²=1, 故k=±√(1/5).

Answer 2

∵e=√3/2且a²-b²=c² ∴c=(√3/2)a , b=a/2，代入椭圆方程，化简得x²+4y²=a²
设直线方程为y=k(x-c)，A（x1，y1），B（x2，y2），
则x=c+(y/k)，代入化简后的椭圆方程，得（4+（1/k²））y²+2cy/k-b²=0
则y1+y2=-2kc/(4k²+1)①
y1*y2=-b²k²/(4k²+1)②
∵AF向量=3FB向量 ∴y1=-3y2，代入①得：y2=kc/(4k²+1)③
代入②得：y2²=b²k²/(4k²+1)④
③²=④，再加上c=(√3/2)a , b=a/2，得4k²+1=9，故k=√2