Question

证明函数有界的一个简单问题

函数f(x)在(a,b)内连续，且f(x)在a处的有极限和在b处的左极限存在，证明函数在(a,b)上有界。

Answer 1

因为f(x)在a处有右极限，根据极限的性质知道存在δ1>0，使得在区间(a,a+δ1)有界
因为f(x)在b处有左极限，根据极限的性质知道存在δ2>0，使得在区间(b-δ2，b)有界
对任意0<ε<min(δ1,δ2) f(x)在区间[a+ε,b-ε]内连续，这是个闭区间，积有最值，即有界
综上知道f(x)在(a,b)有界

追问

为什么可以说明f(x)在区间[a+ε,b-ε]内连续？