Question

讨论函数f(x)=1+|x|在点x=0处的连续与可导性 。

Answer 1

答：
f(x)=1+|x|
x<0时：f(x)=1-x，f'(x)=-1
x>0时：f(x)=1+x，f'(x)=1
f(0-)=f(0+1)=1
所以：x=0处f(x)连续
因为：f'(0-)=-1，f'(0+)=1
所以：f'(0-)≠f'(0+)
所以：x=0处不可导
综上所述：x=0处连续不可导

Answer 2

解：1、∵f(x)=x
x≥0
-x
x＜0
易求的f(x)在x=0的左导数为-1，右导数为1
左右导数不相等，故在x=0处不可导
2、∵limx→0＋f(x)=0+1=1≠f(0)=0
limx→0－f(x)=0-1=-1≠f(0)=0
∴f(x)在x
=0，既不左连续，也不右连续
∴x
=0为f(x)的间断点

Answer 3

函数是在0点处事连续的，但不可导，
分析：
讨论，1、 当x<0时，f(x)=1-x
所以：f(0)=1,f'(0-)=-1,(按导数的定义，或者直接求导)
2、当x>0时，f(x)=1+x
所以：f(0)=1,f'(0+)=1,
由以上分析知道，当x从大于0和小于0分别趋近于0时，都有f(0)=1,所以f(x)在0点处连续，
但是,f'(0-)不等于f'(0+)，所以f(x)在0点处不可导

Answer 4

f(x)=1+|x|
连续性 lim(x->0+)f(x)=1
lim(x->0-)f(x)=1
f(0)=1
3个相等 连续
可导性
lim(x->0+)[f(x)-f(0)]/x= lim(x->0+)|x|/x=lim(x->0+)x/x=1
lim(x->0-)[f(x)-f(0)]/x= lim(x->0-)|x|/x=lim(x->0-)(-x)/x=-1
不相等 不可导