Question

为什么说由全微分的定义，函数在某点处可微则在该点连续

Answer 1

　　由全微分的定义容易证明：若函数 f(x, y) 在 (x0, y0) 可微，有
　　　　f(x0+Δx, y0+Δy) - f(x0, y0) = AΔx + BΔy + o(ρ)，
其中ρ = √[(Δx)^2 + (Δy)^2]，即有
　　　　f(x0+Δx, y0+Δy) - f(x0, y0)→0 (ρ→0)，
即
　　　　lim(ρ→0)f(x0+Δx, y0+Δy) = f(x0, y0)，
即f(x, y) 在 (x0, y0) 连续。

追问

为什么说连续不能推出可微

追答

　　教材上有连续但不可微的例子，或
　 　f(x, y) =√(x^2 + y^2)
在 (0, 0) 就是连续但不可微的例子，不用费劲去推了。