Question

求证:双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值

Answer 1

设双曲线一点P(x0,y0)
渐近线
y=±b/ax
变成方程：bx+ay=0,bx-ay=0
P到渐近线的距离
=|bx0-ay0|/√(a²+b²)
=|bx0-ay0|/c
和
|bx0+ay0|/√(a²+b²)
=|bx0+ay0|/c
到两条渐近线的距离之积
=|bx0-ay0|/c*|bx0+ay0|/c
=|b²x0²-a²y0²|/c²
∵x0²/a²-y0²/b²=1
∴b²x0²-a²y0²=a²b²
∴|b²x0²-a²y0²|/c²
=a²b²/c²
即任意一点到两条渐近线的距离之积为定值=a²b²/c²
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