Question

如图，在四边形ABCD中，三角形ABC是边长为4的等边三角形，三角形ACD是一个等腰三角

如图，在四边形ABCD中，三角形ABC是边长为4的等边三角形，三角形ACD是一个等腰三角形，DC=AD,角ADC=120度，角EDF=60度，并将角EDF绕着D点顺时针旋转，旋转角为α（即角CDF=α），且角α大于0度，小于60度，在旋转过程中，其两边分别与AB、BC交于点E、F，连接EF.
(1) , 当α=15度时，求BE的长；
（2），当α=30度时，请求出三角形BEF的周长。
（3），在上述旋转过程中，当α不等
于30度时,,三角形BEF的周长与（2）中结果是否一样，即是否发生变化？若没有发生变化，请写出求其周长的过程；若发生变化，请说明理由。

Answer 1

解：∵AD=CD，∠ADC=120°，

∴∠DAC=∠DCA=30°，

∵ΔABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠BCA=∠B=60°，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

连接BD，则ΔBAD≌ΔBCD(SSS)，

∴∠ABD=30°，AD=AB÷√3=4√3/3，

⑴α=15°时，∠ADE=120°-60°-15°=45°，

∴ΔADE是等腰直角三角形，∴AE=AD=4√3/3，

∴BE=4-4√3/3。

⑵当α=30°时，BD平分∠EDF，∠ADF=90°，

∴AE=CF=AD÷√3=4/3，

∴BE=BF=4-4/3=8/3，

∴等边ΔBEF周长=3×8/3=8。

⑶ΔBEF周长始终为8。

理由：

顺时针旋转ΔDCF’到ΔDAH，

∵∠DCF=∠DAE=90°，

∴B、A、H共线，∠HDE‘=60°=∠E’DF‘，

又DH=DF’，DE‘=DE’，

∴ΔDE‘H≌ΔDEF’，

∴E'F'=E'H,

∴ΔBEF周长=BA+BC=8。