Question

如图所示,三角形ABC和三角形ACD都是边长为4厘米的等边三角形,两个动点p,q同时从A点出发，点p以每秒1厘米的

如图所示,三角形ABC和三角形ACD都是边长为4厘米的等边三角形,两个动点p,q同时从A点出发，点p以每秒1厘米的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以每秒2厘米的速度沿A→B→C→D的方向运动，当Q运动到D点时，P,Q两点同时停止运动。设P,Q运动的时间为t秒时。解答下列问题：
（1）点P,Q从出发到相遇所用的时间为
秒
（2）在P,Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ也是等边三角形？并请说明理由；
(3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是直角，请画出示意图并说明理由。

Answer 1

1）设时间为t,则相遇时t+2t=AC+AB+BC=12 t=4
2)当APQ为等边三角形时，一定是相遇过後才可能，假设相遇後经过时间t为等边三角形，则在三角形PQ中 PQ=QC平方+PC平方-2PC×QCcos120度 此时QC=2t PC=t 解的PQ=7t平方
而在三角形AQC中 AQ平方=QC平方+AC平方-2QC×AC×cos60度 其中AQ=PQ AC=4 QC=2t 代入方程 解的 7t平方=4t平方+16-2×2t×4×cos60度 的3t平方-8t-16=0 解的t=4/3或t=-4 此时T=t+4=4又4/3
3）画图易得 AQ=2AP 又角PAQ=60度，由对边=斜边一半 得AQP=90

Answer 2

1、点Q的速度为点P的两倍，AB+BC=2AC,故两点在C点相遇，所用的时间为4*1=4S。
2、由于两点只能按照等边三角形的边运动，而且速度不一致，所以只能是P、Q两点分别到达三角形的顶点时，△APQ才是等边三角形。当t=20s时，点P到B点，点Q到C点，，△APQ是等边三角形。
3、当0＜t＜2时，点Q未到达B点，点P未到达C点；由于∠CAB=60°，AQ=2AP,所以∠APQ始终是直角.