Question

在函数式中，怎样求自变量的取值范围？

Answer 1

一、内容综述：
　　1．函数的有关概念：
　　一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
　　对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
　　（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。
　　（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。
　　怎样理解相同的函数:
　　由函数的概念可以知道，若变量x与变量y之间有着某种特殊的对应关系（即对应法则），且变量x在它的取值范围内任取一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，则变量y是变量x的函数。也就是说，函数的概念中包含了以下两个方面的内容：
　　（1）y与x之间的函数关系式；
　　（2）函数关系式中自变量x的取值范围。
　　这就是说，相同的函数必须要求以上两个方面都满足，即函数关系式相同（或变形后相同），自变量x的取值范围也相同，否则，就不是相同的函数。而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取值范围有时容易忽视，这点请同学们注意。
　　例：下列函数中，与y=x表示是同一函数关系的是（　　 ）。
　　

　　分析：先把四个函数解析式化简，与y=x比较是否相同，并求出各个函数中自变量x的取值范围，把它们分别与y=x的解析式，自变量x的取值范围进行比较。注意，这两个条件都满足时才是相同的函数。
　　解：函数y=x，其自变量x的取值范围是全体实数。
　　 , 其自变量x的取值范围是x≥0的一切实数。
　　 ，其自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
　　 ，其自变量x的取值范围是一切实数。
　　 ，其自变量x的取值范围是一切实数。
　　显然只有(C)与y=x的解析式，自变量x的取值范围都相同，故应选(C)。
　　2．求函数自变量的取值范围
　　求函数自变量的取值范围的原则是：
　　（1）解析式是整式，自变量可以取一切实数。
　　（2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零。
　　（3）解析式是无理式，如果是二次根式，自变量的取值范围应使被开方式的值大于或等于零，如果是三次根式，自变量可以取一切实数。
　　（4）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值范围同时满足它们各自的条件。
　　3．函数值
　　与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。
　　4．函数的图象
　　函数图象实现了数与形的相互转化。