Question

一点与三角形三顶点连线三等分三角形面积 此点是否为重心

自己解答 越快越好
请从此点的条件证明出此点为重心 而非问重心性质 即寻求判定方法
数学语言证明

Answer 1

是重心，你可以这样考虑，把这个三角形当成一个均匀地有质量的板，那么你说的这个点三等分这块板，则三部分质量相等，所以找条棍支起这点能够平衡，所以是重心

追问

请用数学语言
其实答得挺好的

追答

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
你反着推回去试试

追问

你也推一个试试 根本推不出来
我已经做出来了 延长三条已知点与顶点的线段交于三角形，分割出六块面积，连一组交点，双相似
你们别答了

你也推一个试试 根本推不出来
我已经做出来了 延长三条已知点与顶点的线段交于三角形，分割出六块面积，连一组交点，双相似
你们别答了

Answer 2

三角形重心的性质1,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：12.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；4.过该点的直线平分三角形的面积

Answer 3

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

Answer 4

三角形重心分所在中线为2：1两段，再分析可知，这一点与三角形三顶点连线三等分三角形面积

追问

注意条件 为等分面积

追答

追问

很好，中心判定还需面积证明，并无定理