Question

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函……详见问题补充

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则
A.f(x)是偶函数,B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2),D.f(x+3)是奇函数

∵函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，
∴函数f（x）不是奇函数也不是偶函数。

我的问题：为什么函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，那么函数f（x）不是奇函数也不是偶函数？
昨天的回答还是未搞懂，望能继续解惑！
见http://zhidao.baidu.com/question/2052381001503305347.html?quesup2&oldq=1

Answer 1

根据奇偶函数的性质
奇函数：若定义域为R，则f(0)=0，f(-x)=-f(x)，图像关于原点中心对称；
偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于Y轴左右对称
∵函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不满足奇偶函数应具备的性质
∴函数f（x）不是奇函数也不是偶函数。

另发一份关于证明函数f(x+3)为奇函数过程：
函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 f(x+3)是奇函数
证明：∵函数f(x)的定义域为R，f(x+1)是奇函数
∴f(x)向左平移一个单位得到f(x+1)

即f(x)关于点(1,0)中心对称；
∵函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b
∴函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0
∵f(x-1)都是奇函数
∴f(x)向右平移一个单位得到f(x-1)

即f(x)也关于点(-1,0)中心对称；
∴函数f(x)满足f(x)+f(-2-x)=0
∴函数f(x)满足f(2-x)=f(-2-x)
令x=-2-x
f(2-(-2-x))=f(-2-(-2-x))==>f(4+x)=f(x)
∴函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数。
f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[(-x)-1]=f(x-1)
-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)
∴f(-x+3)=-f(x+3)，故f(x+3)是奇函数

追问

非常感谢你的回答！ 我还是不明白。比如：f(x)=sinπx这个函数，关于（1,0）和（-1,0）对称，但也关于（0,0）对称，同时也满足f(x+1)和f(x-1)是奇函数。所以并不能排除f(x)是奇函数。只是后来知道本题中的f(x)的周期是4，才能排除f(x)是奇函数（因f(x)不可能是sinπx)。【若f(x)的周期是2，则不能排除f(x)是奇函数这个选项】望继续解惑！

追答

的确，以前我做此题时，也有过同样的疑惑，看了有关答案，觉得此题逻辑不够严密
函数f（x）关于点（1，0）中心对称，f（x）不能是奇函数，也不是偶函数；同样
函数f（x）关于点（-1，0）中心对称，f（x）不能是奇函数，也不是偶函数；
问题是f(x)同时关于点（-1，0）和点（1，0）中心对称
就不能排除f(x)是偶函数这选项，如f(x)=cos(π/2x)，其周期T=4，同时关于点（-1，0）和点（1，0）中心对称
你对此题能看出这些问题，说明你的数学能力相当强，在同一数学问题中，出现前后矛盾说法，只能说明此题逻辑不够严密

Answer 2

明白了嘛！画个图就出来了。