Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 f(x+3)是奇函数 解释一下下面的解

(x+1)是f(x)向左平移一个单位得到
f(x)对称轴x=1
f(x-1)是f(x)向右平移一个单位得到
f(x)对称轴x=-1
所以T=4
所以。。。。。。。。
问： f(x+1)的对称轴f(x-1)的对称轴 与f(x)有什么关系啊 ， 那不是3个图像啊

Answer 1

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 f(x+3)是奇函数

证明：∵函数f(x)的定义域为R，f(x+1)是奇函数

∴f(x)向左平移一个单位得到f(x+1)

即f(x)关于点(1,0)中心对称；

∵函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b

∴函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0

∵f(x-1)都是奇函数

∴f(x)向右平移一个单位得到f(x-1)

即f(x)也关于点(-1,0)中心对称；

∴函数f(x)满足f(x)+f(-2-x)=0

∴函数f(x)满足f(2-x)=f(-2-x)

令x=-2-x

f(2-(-2-x))=f(-2-(-2-x))==>f(4+x)=f(x)

∴函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数。

 

 

构造函数f(x)=cos(π/2x) 绿色曲线

f(x+1)=cos(π/2(x+1)) 青色曲线

f(x+1)=cos(π/2(x-1)) 棕色曲线

可以观察三者间对称中心或对称轴间的关系

Answer 2

f(x)向左右平移时,其对称轴也相应平移

追问

对啊。 这不是3个图像吗、 那求出的t 算是谁的、

追答

t都一样