Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数

请问f(x)是否是一个周期函数？该怎么求？
是否满足f(x+2n+1) (n∈Z)都为奇函数？

Answer 1

1、f(x+1)=-f(-x+1)=>f(x)=f[(x-1)+1]=-f[-(x-1)+1]=-f(-x+2)
f(x-1)=-f(-x-1)=>f(x)=[f(x+1)-1]=-f[-(x+1)-1]=-f(-x-2)
于是有：f(-x+2)=f(-x-2)=>f(-x)=f[-(x+2)+2]=f[-(x+2)-2]=f(-x-4)
显然它是一个以4为周期的周期函数
2、显然当n=-1时，f(x+2n+1)=f(x-1)是奇函数，当n=0时，f(x+2n+1)=f(x+1)也是周期函数
既然f(x)是以4为周期的周期函数，那么当n为偶数时有f(x+2n+1)=f(x+1)，当n为奇数时有：f(x+2n+1)=f(x-1)，即当n为整数时都有满足f(x+2n+1)是奇函数。
希望你能看懂，有问题再问。

Answer 2

【周期函数】定义：
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

【奇函数】定义：
设函数y=f(x)的定义域为D，D为关于原点对称的数集，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数

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题目：
函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，
1） 求f(x)是否是一个周期函数，函数周期
2) 是否满足f(x+2n+1) (n∈Z)都为奇函数

Answer 3

f(x+1)=-f(1-x)=-f((2-x)-1)=f(x-2-1)=f(x-3),
所以f(x)=f(x-4), f(x)是周期为4的函数。
因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+2n+1)=-f(-x-2n+1)=-f(-x+2n+1), 所以f(x+2n+1)为奇函数。

Answer 4

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数
f(x+1)=f(-x+1),f(x-1)=f(-x-1)
f(x)=f(x-1+1)=f[-(x-1)+1)]=f(2-x),f(x)=f(x+1-1)=f(-x-1-1)=f(-x-2)
f(2-x)=f(-2-x),f(x)=f(-4+x)
f(x)是一个周期函数,它的一个最小正周期为4
满足f(x+2n+1) (n∈Z)都为奇函数！