Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则f(x+3)是奇函数。

解：∵f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于（1，0）对称。
∴f(-x) = -f(x+2),
同理 ：f(x-1)为奇函数，∴f(x)关于（-1，0）对称，
∴f(x+4) = f(x), 由 f(x+3) = f[(x+2)+1] = -f(-x+1) = -f(-x+1-4) = -f(-x-3),
得f(x+3)为奇函数。

其中，∵f(x)关于（1，0）对称。∴f(-x) = -f(x+2),
这部分我不明白。
请说明一下。
麻烦大家了！谢谢！

Answer 1

你这个解得不对。
f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于（1，0）对称。这个对称是奇函数的中心对称，然后-x和x+2关于（1，0）对称，所以f(-x) = -f(x+2),
ps：就像是如果g(x)是个奇函数，那么g(x)关于（0,0）中心对称，然后-x和x关于（0,0）是对称点，所以g(-x)=-g(x)
然后f(x-1)为奇函数，f(x)关于（-1，0）对称,f(-x) = -f(x-2),
所以f(x+4) = f(x)，f(x)是周期为4的周期函数。
-然后 f(x+3) = f[(x+1)+2] = -f(-x-1) = -f(-x-1+4) = -f(-x+3），f(x+3)为奇函数，这样才对
ps：你把f(x+3)看做g(x)，奇函数是指g(-x)=-g(x)，要是f(x+3) = -f(-x-3),那么f(x)就成了奇函数了

Answer 2

详细解答
因为f(x+1)向右平移1个单位得到f(x)，所以f(x+1)对称中心（0，0）移到（1，0）.
f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于（1，0）对称。这个对称是奇函数的中心对称，然后-x和x+2关于（1，0）对称，所以f(-x) = -f(x+2),　也可写成f(x+2) =　- f(-x)后面用

然后f(x-1)为奇函数，f(x)关于（-1，0）对称,f(-x) = -f(x-2),
所以由上面2个结论得：　　-f(x+2) =　-f(x-2)
所以　f(x+2) =f(x-2)，用x+2换x
所以f(x+4) = f(x)，f(x)是周期为4的周期函数。
因为f(x+2) =　- f(-x)　（前面的结论）
然后x+1换x　得 f(x+1＋2) =f(x+3) =- f(-(x+1)) =　-f(-x-1) 　= -f(-x-1　+4周期　) = -f(-x+3），
所以f(x+3)= -f(-x+3），
所以f(x+3)为奇函数，
这样才对

Answer 3

奇函数关于（1，0）对称
即对称点两侧等距上的值互为相反数，且等距的横坐标相加之和均值为1
所以f(-x)=-f(x+2)

Answer 4

-x关于1的对称是1*2-（-x）=x+2
然后根据奇函数的定义f(-x)=-f(x+2)