Question

高二数学 等差数列几道题目

1 甲乙两物体分别从相距70米处的两处同时运动。甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5米。如果甲乙到达对方起点后立即折返，则开始运动几分钟后第二次相遇？ 2 已知数列{an}中，a1=1。a(n+1)=5an/(5+an), (2) 求证数列{1/an}成等差数列,并求出数列{an}的通项公式.(这一问我做出来了,所以不用做了,可能对做下一问有帮助) 设Tn是{an}的前n项和, T2n>Tn + a 对任意的正整数n恒成立,求a的取值范围. (以上n,n+1,2n均为下标).

Answer 1

1)第二次相遇共走3×70=210m 乙每分钟走5m,设甲每分钟走an, {an}是首项为2,公差为1的等差数列 ∴an=2+(n-1)=n+1 第n分钟甲共走 Sn=a1+a2+……+an=(a1+an)×n/2=n(n+3)/2 ∴n(n+3)/2+5n=210 整理得 n+13n-420=(n+28)(n-15)=0 ∴n=15,即开始运动15分钟后第二次相遇 2)a(n+1)=5an/(5+an) ∴1/a(n+1)=(5+an)/5an=1/an+1/5,1/a1=1 ∴{1/an}是首项为1,公差为1/5的等差数列 ∴1/an=1+(n-1)/5=(n+4)/5,an=5/(n+4) ②a<T2n-Tn=a(2n)+a(2n-1)+……+a(n+1)恒成立 就是求a(2n)+a(2n-1)+……+a(n+1)的最小值 设f(n)=a(2n)+a(2n-1)+……+a(n+1) ∴f(n+1)=a(2n+2)+a(2n+1)+……+a(n+2) ∴f(n+1)-f(n)=a(2n+2)+a(2n+1)-a(n+1)=5/(2n+6)+5/(2n+5)-5/(n+5) =5[1/(2n+6)+1/(2n+5)-1/(n+5)]=5[1/(2n+6)-1/(2n+10)+1/(2n+5)-1/(2n+10)] ∵1/(2n+6)-1/(2n+10)>0,1/(2n+5)-1/(2n+10)>0 ∴f(n+1)-f(n)>0,f(n)单调增 ∴f(n)的最小值为n=1时,f(1)=a2=5/6 ∴a<5/6

Answer 2

1.(1)设n分钟后第1次相遇，依题意得2n+n(n-1)/2+5n=70 整理得：n 2 +13n－140=0，解得：n=7，n=－20(舍去) ∴第1次相遇在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n+n(n-1)/2+5n=3×70 整理得：n 2 +13n－6×70=0，解得：n=15或n=－28(舍去) 2.1/a(n+1)=(5+an)/5an=1/an+1/5 ∴{1/an}是以1/a1=1为首项，1/5为公比的等比数列 1/an=1+(n-1)/5=(4+n)/5 ∴an=5/(4+n) T2n>Tn + a ∴a<T2n-Tn(的最小值) T2n=1+5/6+5/7+……+5/(4+2n) Tn=1+5/6+5/7+……+5/(4+n) ∴即求T2n-Tn=5/(4+n+1)+……+5/(4+2n)的最小值 ∵a(n+1)-an=5/(5+n)-5/(4+n)<0 ∴{an}是递减数列 ∴T2n-Tn在n=1时取得最小值 即a<T2-T1=a2=5/6