Question

已知函数f（x）=2^x+1，将函数f－¹的图像向左平移2个单位再向上平移1个单位，就得到y=g（x）的图像

已知函数f（x）=2^x+1，将函数f－¹的图像向左平移2个单位再向上平移1个单位，就得到y=g（x）的图像，求：（1）写出y=g（x）的解析式；（2）求出F(x)=g(x²）－f－¹（x）的最小值及取得最小值时x的值。

Answer 1

首先，这个函数的反函数为f－¹
所以这个函数f－¹=log2（x-1）
把这个函数向左平移两个单位得到f－¹=log2（x+2-1）=log2（x+1）
再把这个函数向上平移一个单位就是g（x）=log2（x+1）+1 （x＞-1）

2）g（x²）=log2（x²+1）+1
所以F（x）=g(x²）－f－¹（x）=log2（x²+1）+1-log2（x-1）=log2[（x²+1）/(x-1)]+1
=log2[（x²-1+2）/(x-1)]+1
=log2[(x+1)+2/(x-1)]+1

因为（x+1)+2/(x-1）=（x-1)+2/(x-1）-2≥2根2-2 （利用均值不等式）
从而由于y=log2x是单调递增的，所以函数F的最小值就是log2（2根2-2）+1
当x-1=2/（x-1） 所以（x-1）²=2 x=±根2+1 时取得这个最小值

希望能帮到你，请采纳，谢谢