Question

（2012?湘潭）如图，抛物线y＝ax2?32x?2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4

（2012?湘潭）如图，抛物线y＝ax2?32x?2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-

3

2

×4-2，即：a=

1

2

；
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA?OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（

3

2

，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=

1

2

x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=

1

2

x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

1

2

x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×

1

2

（-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y=

1

2

x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

y＝ 1 2 x2? 3 2 x?2   y＝ 1 2 x?4

，
解得：

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