Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=A

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=AB=1．（1）证明：BE∥平面PAD；（2）证明：BE⊥平面PDC．

Answer 1

解答：解：（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．
∵E为PC的中点，
∴EQ∥CD且EQ＝

1

2

CD．
又∵AB∥CD且AB＝

1

2

CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ．
∵PA=AD，Q为PD的中点，
∴AQ⊥PD，
∵CD∩PD=D，∴AQ⊥平面PDC．
∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PDC．