Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC⊥A

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（Ⅰ）证明：PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P-ACD外接球的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴DA⊥PA
又∵AC⊥AD，∴DA⊥平面PAC
∴DA⊥PC．

（Ⅱ）过A作AM⊥PC交PC于点M，连接DM，则∠AMD为所求角．
在Rt△PAC中，AM=

2

1+22

＝

2

5

，
在Rt△DAM中，DM=

DA2+AM2

＝

22+( 2 5 )2

＝

2 30

5

，
在Rt△AMD中，sin∠AMD＝

AD

DM

＝

30

6

．
（Ⅲ）求三棱锥P-ACD外接球即为以AP，AD，AC为棱的长方体的外接球，
长方体的对角线为球的直径；
∵l²=2²+2²+1