Question

如图，已知椭圆E：x28+y24＝1焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1

如图，已知椭圆E：x28+y24＝1焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（1）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，求k1?k2的值；（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设点P（x，y），x≠±2，那么k1＝

y

x+2

，k2＝

y

x?2

∴k1k2＝

y

x+2

×

y

x?2

＝

y2

x2?4

∵P是双曲线G上异于顶点的任一点
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）设直线AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程组

y＝k1(x+2) x2 8 + y2 4 ＝1

得(2k12+1)x2+8k12x+8k12?8＝0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2＝

?8k12

2k12+1

，x1x2＝

8k12?8

2k12+1

由弦长公式得|AB|＝

1+k12

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