设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值
设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（x1x2）＜0（f′（...
设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（x1x2）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设g（x）=3ax2-ax+2+a，若f（x）+e-x≥g（x）对x∈R恒成立，求a取值范围．
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（1）解：f'（x）=ex-a．
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna．
当x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值．
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e2．此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又f（x）在R上连续，故a＞e2为所求取值范围．…（4分）
（2）证明：∵
两式相减得a＝
．
记
＝s(s＞0)，则f′(
)＝e
?
＝
[2s?(es?e?s)]，
设g（s）=2s-（es-e-s），则g′（s）=2-（es+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
＞0，∴f′(
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna．
当x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值．
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e2．此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又f（x）在R上连续，故a＞e2为所求取值范围．…（4分）
（2）证明：∵
|
| ex2?ex1 |
| x2?x1 |
记
| x2?x1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ex2?ex1 |
| x2?x1 |
e
| ||
| 2s |
设g（s）=2s-（es-e-s），则g′（s）=2-（es+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
e
| ||
| 2s |
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