Question

如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）

如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上位于第四象限内一动点，将△OAE绕OA的中点旋转180°，点E落到点F的位置．求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当四边形OEAF的面积为24时，请判断四边形OEAF的形状．②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-

7

2

）²+h，代入A（6，0）、B（0，4）后，得：

a(6? 7 2 )2+h＝0 a(0? 7 2 )2+h＝4

，解得

a＝ 2 3 h＝? 25 6

∴抛物线的解析式：y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，顶点D（

7

2

，-

25

6

）．

（2）依题意，知：△OAF≌△AOE，得：OE=AF、AE=OF；
∴四边形OEAF是平行四边形．
∵点E（x，y）在抛物线的图象上，
∴y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

；
又∵点E在第四象限，∴y＜0，解得：1＜x＜6；
S=2S_△OAE=2?

1

2

?OA?|y_E|=6?（-y）=-4（x-

7

2

）²+25，（1＜x＜6）．
①当S=24时，-4（x-

7

2

）²+25=24，解得 x₁=3、x₂=4；
1、当x=3时，E（3，-4），此时OE=AE，四边形OEAF为菱形；
2、当x=4时，E（4，-4），此时OE≠AE，且∠OEA≠90°，∴四边形OEAF只是平行四边形．
②假设四边形OEAF为正方形，则OE=AE，OE⊥AE，已知O（0，0）、A（6，0），则 E（3，-3）；
但此时的点E不在抛物线的图象上，因此不存在符合条件的点E．

（3）设平行四边形的另一顶点为Q，分两种情况讨论：
①当PA为平行四边形的对角线时，另一条对角线DQ的中点为（

7

4

，0），而P、A关于（

7

4

，0）对称，那么点P（-

5

2

，0）；
②当PA为平行四边形的边时，DQ∥PA，且PA=QD=

7

2

，已知 A（6，0），则 P（

5

2

，0）或（

19

2

，0）；
综上，点P的坐标为（-

5

2

，0）或（

5

2

，0）或（

19

2

，0）．