Question

如图所示，对称轴为直线X=7/2的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标。
（2）设点E（X，Y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形的OEAF的面积S与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围。
（3）1.当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
2.是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

河南省2007年数学中招试题23题
23．解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ，顶点为
（2）∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是 的对角线，
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的
取值范围是1＜ ＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即 ．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以 是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以 不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使 为正方形

显示不出来，你去我给你网址

http://exam.hengqian.com/html/2007/7-18/r11039670.shtml
这里有下载```

Answer 2

考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴设抛物线的解析式为y=a（x+
72）2+k，将A、B两点坐标代入，列方程组求a、k的值；
（2）根据平行四边形的性质可知S=2S△OAE，△OAE的底为AO，高为E点纵坐标的绝对值，由此列出函数关系式，①当S=24时，由函数关系式得出方程，求x的值，再逐一判断；②不存在，只有当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，由此求出E点坐标，判断E点坐标是否在抛物线上．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+72）2+k（k≠0），
则依题意得：2425a+k=0，494a+k=4
解之得：a=23，
k=-256
即：y=23（x+72）2-256，顶点坐标为（-72，-256）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，且位于第三象限．
∴S=2S△OAE=2×12×0A×（-y）
=-6y
=-4（x+72）2+25 （-6＜x＜-1）；
①当S=24时，即-4（x+72）2+25=24，
解之得：x1=-3，x2=-4
∴点E为（-3，-4）或（-4，-4）
当点E为（-3，-4）时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；
当点E为（-4，-4）时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为（-3，-3），
而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据平行四边形的性质表示面积，由特殊平行四边形的性质确定E点坐标，判断E点坐标是否在抛物线上，确定存在性．

Answer 3

解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ，顶点为
（2）∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是 的对角线，
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的
取值范围是1＜ ＜6．
根据题意，当S = 24时，即 ．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以 是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以 不是菱形．
当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使 为正方形．

造福千万家~~~~嘿嘿~~~~

Answer 4

解：（1）因为抛物线的对称轴是x=72，
设解析式为y=a（x-72）2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得 a(6-
72)2+k=0a(0-
72)2+k=4，
解得a=23，k=-256．
故抛物线解析式为y=23（x-72）2-256，顶点为（ 72，-256）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=23（x-72）2-256，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2×12×OA•|y|=-6y=-4（x-72）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．

（3）根据题意，当S=24时，即-4（x-72）2+25=24．
化简，得（x-72）2=14．
解得x1=3，x2=4．
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，-4），E2（4，-4），
点E1（3，-4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4，-4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
∴不一定，由S=24可角得x=3或x=4，当时x=3是菱形，当x=4时不是菱形．

（4）E1（2.5，-73），F1（3.5，72）；E2（-52，1196），F2（72，1196）；E3（192,1196），F3（72，1196）．