Question

如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=

如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB= 6 ．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为 3 ﹔③EB⊥ED﹔④S △APD +S △APB =0.5+ 2 ．其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④

Answer 1

在正方形ABCD中，AB=AD， ∵AP⊥AE， ∴∠BAE+∠BAP=90°， 又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°， ∴∠BAE=∠DAP， 在△APD和△AEB中， AE=AP ∠BAE=∠DAP AB=AD ， ∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确； ∵AE=AP，AP⊥AE， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP=∠APE=45°， ∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°， ∴∠BEP=135°-45°=90°， ∴EB⊥ED，故③正确； ∵AE=AP=1， ∴PE= 2 AE= 2 ， 在Rt△PBE中，BE= PB 2 -PE 2 = 6 2 - 2 2 =2， ∴S △APD +S △APB =S △APE +S △BPE ， = 1 2 ×1×1+ 1 2 × 2 ×2， =0.5+ 2 ，故④正确； 过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F， ∵∠BEF=180°-135°=45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF= 2 2 ×2= 2 ， 即点B到直线AE的距离为 2 ，故②错误， 综上所述，正确的结论有①③④． 故选A．