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函数的定义域一般有三种定义方法:
(1)自然定义域,若函数的对应关系有解析表达式来表示,则使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然定义域。例如函数
要使函数解析式有意义,则
因此函数的自然定义域为
(2)函数有具体应用的实际背景。例如,函数v=f(t)表示速度与时间的关系,为使物理问题有意义,则时间
因此函数的定义域为
(3)人为定义的定义域。例如,在研究某个函数时,我们只关心函数的自变量x在[0,10]范围内的一段函数关系,因此定义函数的定义域为[0,10]。
扩展资料
求函数定义域的主要依据是:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于等于零;
(3)对数的真数大于零;
(4)指数式、对数式的底数必须大于零且不等于1;
(5)实际问题中注意自变量的范围,比如大于0或者只能取整数等等。
参考资料来源:百度百科-定义域
定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1),分母不为零
(2),偶次根式的被开方数非负。
(3),对数中的真数部分大于0。
(4),指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5),y=tanx中x≠kπ+π/2,
y=cotx中x≠kπ等等。值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法:(1)化归法;(2)图象法(数形结合),(3)函数单调性法,(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法,(11)分离常数法等。
扩展资料:
1、化归法:
在解决问题的过程中,数学往往不是直接解决原问题,而是对问题进行变形、转化,直至把它化归为某个(些)已经解决的问题,或容易解决的问题。
把所要解决的问题,经过某种变化,使之归结为另一个问题*,再通过问题*的求解,把解得结果作用于原有问题,从而使原有问题得解,这种解决问题的方法,我们称之为化归法。
2、复合函数法:
多元函数微分学是数学分析领域的重要内容。在多元函数微分学中,主要讨论的是多元函数的可微性及其应用,而二元函数的可微性则是多元函数可微性研究的重点。复合函数微分法则是二元函数可微性的进一步研究。
3、三角代换法:
三角代换是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题,使题目得以突破的解题方法。实质是换元思想,体现了“三角”是数学中的工具的特征,恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力。
4、换元法:
换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一 。利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径 。
解一些复杂的因式分解问题,常用到换元法,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化,明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
5、分离常数法
把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况,由于分子分母中都有未知数与常数的和,所以一般来说我们分拆分子,这样把分子中的未知数变成分母的倍数,然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
设D、M为两个非空实数集,如果按照某个确定的对应法则f,使得对于集合D中的任意一个数x,在集合M中都有唯一确定的数y与之对应,那么就称f为定义在集合D上的一个函数,记做y=f(x)。
其中,x为自变量,y为因变量,f称为对应关系,集合D成为函数f(x)的定义域,为函数f的值域,对应关系、定义域、值域为函数的三要素。
本质为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射,通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域,另一种定义是在直角三角形中,但并不完全,现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
其主要根据为:
1、分式的分母不能为零。
2、偶次方根的被开方数不小于零。
3、对数函数的真数必须大于零。
4、指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1。
扩展资料
函数的定义域定义方法:
自然定义域,若函数的对应关系有解析表达式来表示,则使解析式有意义的自变量的取值范围称为自然定义域。例如函数:
要使函数解析式有意义,则:
因此函数的自然定义域为:
参考资料来源:百度百科-函数定义域
例如:
编辑本段简介
f(x)是函数的符号,它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域。x是自变量,它代表着函数图象上每一点的横坐标,所有横坐标的数值 构成的集合就是函数的定义域。f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定。例如:f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围(x2+1≥1)就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题,仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识,我们还需要对f(x)有更深刻的了解。
编辑本段认识f(x)
我们可以从以下几个方面来认识f(x)。 第一:对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。象x2-1这个代数式,它就是一个函数,其自变量是x,对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应,所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。 第二:对抽象数的认识,对于一个没有具体解析式的抽象函数,由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域,很难理解它的符号及其意义。 例如:f(x+1)的自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。 我们不妨作如下假设,如果f(x)=x2+1,那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)与(x+1)2+1这个代数式相等,即:(x+1)2+1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1)2+1的对应法则是先把自变量加1再平方,然后再加上1。 再如,f(x)与f(t)是同一个函数吗? 只须列举一个特殊函数说明。 显然,f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的,如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的,则f(x)与f(t)就是相同的函数,否则,它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。 例:设 f(x+1)=x2+1 ,求f(x) 设x+1=t=>t2—2=x2+2x 所以f(t)=t2—2, f(x)=x2—2 而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,由t=x+ 可知t≥2或t≤—2 所以f(x)=x2—2,(x≥2或x≤2)
编辑本段对函数f(x)定义域的认识
如果一个函数是具体的,它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的,它的定义域就难以捉摸。 例如:y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1)的定义域相同吗?值域相同吗?如果已知f(x)的定义域是x∈ [1,2],f(x+1)的定义域是什么? 因为f(x)的定义域是 x ∈ [1,2],即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x)都有函数值,超出这个范围内的任何一个数值f(x)都没有函数值。例如3就没有函数值,即f(3)就无意义。因此,当x+1的取值超出了[1,2]这个范围,f(x+1)也就没有了函数值,所以f(x+1)的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集,也就是说f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定义域,又由于1≤x+1≤2故f(x+1)的值域与f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了。 看是不是同一个函数,因为都是f(),所以是同一个 (是不是统一函数只要看()前面的字母是不是同一个,注意大小写也要一样才是同一函数) 题目中的“已知函数f(x)”中的x是一个抽象的概念, x可以代替f()括号中任意表达式, 如果他的定义域是(a,b) 那么,x+m和x-m的定义域都是(a,b) 就高中课程而言,函数定义域是说函数f(x)中,x的取值范围。 二、求函数的定义域: 求函数的定义域: y=1/x 分母不等于0; y=sprx 根号内大于等于0; y=logaX 对数底数大于0且不等于1,真数大于0;
抽象函数定义域的常见题型
类型一
已知
例1.已知
略解:由
∴
的定义域为(0,1)
类型二
已知
的定义域,求
的定义域。
例2、已知
解:已知0<x<1
∴-1<2x-1<1
∴
的定义域为(-1,1),注意比较例1与例2,加深理解定义域为x的取值范围的含义。
扩展资料
求函数定义域的情形和方法总结:
已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
(1)常见要是满足有意义的情况简总:
①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;
②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数);
③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0;
④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0;
⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1);
⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大0且不等于1。[ f(x)=logx(x²-1) ]