Question

已知等差数列{a n }中，a 1 =-1，前12项和S 12 =186．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }

已知等差数列{a n }中，a 1 =-1，前12项和S 12 =186．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足 b n =( 1 2 ) a n ，记数列{b n }的前n项和为T n ，求证： T n ＜ 16 7 （n∈N * ）．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d， ∵a 1 =-1，S 12 =186，∴ S 12 =12 a 1 + 12×11 2 d ，…（2分） 即 186=-12+66d．…（4分） ∴d=3．…（5分） 所以数列{a n }的通项公式 a n =-1+（n-1）×3=3n-4．…（7分） （Ⅱ）证明：∵ b n =( 1 2 ) a n ，a n =3n-4，∴ b n =( 1 2 ) 3n-4 ．…（8分） ∵当n≥2时， b n b n-1 =( 1 2 ) 3 = 1 8 ，…（9分） ∴数列{b n }是等比数列，首项 b 1 =( 1 2 ) -1 =2 ，公比 q= 1 8 ．…（10分） ∴ T n = 2[1- ( 1 8 ) n ] 1- 1 8 = 16 7 ×[1-( 1 8 ) n ] ．…（12分） ∵ 0＜ 1 8 ＜1 ，∴ 0＜( 1 8 ) n ＜1(n∈ N * ) ， ∴ 1-( 1 8 ) n ＜1(n∈ N * ) ．…（13分） ∴ T n = 16 7 ×[1-( 1 8 ) n ]＜ 16 7 ．…（14分）