Question

已知等比数列{an}的首项a1=1，公比为x（x＞0），其前n项和为Sn．（1）求函数f(x)＝limn→+∞SnSn+1的解析

已知等比数列{an}的首项a1=1，公比为x（x＞0），其前n项和为Sn．（1）求函数f(x)＝limn→+∞SnSn+1的解析式；（2）解不等式f(x)＞10?3x8．

Answer 1

（1）当x=1时，S_n=n，S_n+1=n+1，
f（x）=

lim

n→+∞

n

n+1

＝1；…（2分）
当x＞0且x≠1时，Sn＝

1?xn

1?x

，
f(x)＝

lim

n→+∞

1?xn

1?xn+1

，…（4分）
若0＜x＜1，
f（x）=1；…（5分），
若x＞1，则f(x)＝

1

x

，…（6分）
综上，f(x)＝

1    (0＜x≤1) 1 x    (x＞1)

…（7分）
（2）当0＜x≤1时，
由1＞

10?3x

8

，得

2

3

＜x≤1；…（10分）
当x＞1时，
由

1

x

＞

10?3x

8

，得1＜x＜

4

3

或x＞2．…（13分）
综上可得原不等式的解集为(

2

3

 ， 

4

3

 )∪( 2 ， +∞)．…（14分）