Question

顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l

顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．

Answer 1

（1）由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．…（1分）
∴抛物线标准方程为：x²=4y…（4分）
（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点F（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AB|=y₁+y₂+p=y₁+y₂+2…（8分）
联立

y＝2x+1 x2＝4y

得x²-8x-4=0…（9分）
∴x₁+x₂=8…（10分）
∴|AB|=y₁+y₂+2=2x₁+1+2x₂+1+2=2（x₁+x₂）+4=20…（12分）