如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.(1)证
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.(1)证明:AE⊥PD;(2)设AB=2,若H为线段...
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.(1)证明:AE⊥PD;(2)设AB=2,若H为线段PD上的动点,EH与平面PAD所成的最大角的正切值为62,求AP的长度.
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(1)AE⊥PD---------------------------------------(1分)
因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形.
因为E是BC的中点,
∴AE⊥BC,结合BC∥AD,得AE⊥AD-------------------(2分)
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
∴PA⊥AE---------(3分)
PA∩AD=A,且PA?平面PAD,AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD,又PD?平面PAD-----------------------------(5分)
∴AE⊥PD-------------------------------------------------(6分)
(2)由(1),EA⊥平面PAD,
∴EA⊥AH,即△AEH为直角三角形,----------(8分)
Rt△EAH中,AE=
,
当AH最短时,即AH⊥PD时,EH与平面PAD所成的角最大,最大角的正切值为
,-----------(10分)
此时,tan∠EHA=
=
,AH=
.
又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.------------------(12分)
因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形.
因为E是BC的中点,
∴AE⊥BC,结合BC∥AD,得AE⊥AD-------------------(2分)
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
∴PA⊥AE---------(3分)
PA∩AD=A,且PA?平面PAD,AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD,又PD?平面PAD-----------------------------(5分)
∴AE⊥PD-------------------------------------------------(6分)
(2)由(1),EA⊥平面PAD,
∴EA⊥AH,即△AEH为直角三角形,----------(8分)
Rt△EAH中,AE=
3 |
当AH最短时,即AH⊥PD时,EH与平面PAD所成的角最大,最大角的正切值为
| ||
2 |
此时,tan∠EHA=
AE |
AH |
| ||
2 |
2 |
又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.------------------(12分)
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