Question

已知a∈R，函数f(x)＝lnx+1x+ax．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[2，+∞）上是

已知a∈R，函数f(x)＝lnx+1x+ax．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+

1

x

（x＞0），
所以f′（x）=

x?1

x2

．
所以，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以，当x=1时，函数有最小值f（1）=1．　　　　…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=

ax2+x?1

x2

．
当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
当a＜0时，要使f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，
当且仅当x∈[2，+∞）时，ax²+x-1≤0恒成立．
即a≤

1?x

x2

恒成立．
设g（x）=

1?x

x2

，则g′(x)＝

x?2

x3

，
又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0，即g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（2）=-

1

4

，所以a≤-

1

4

．
综上，a的取值范围是a≤-

1

4

，或a≥0．…（13分）