Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：AD⊥平面BB

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证：AD⊥平面BB1CC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求三棱锥C1-ADB1的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
∴CC₁⊥AD
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴BC⊥AD，又BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BB₁CC₁；
（2）证明：如图，连接A₁C交AC₁于点O，连接OD
由题得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点，
又D为BC的中点，
∴A₁B∥OD
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁
∴A₁B∥平面ADC₁．
（3）解：∵VC1?ADB1＝VA?B1DC1，S△B1DC1=

1

2

×2×2，AD＝

3

，
∴VC1?ADB1＝VA?B1DC1＝

1

3

S△B1DC1×AD＝

1

3

×2×

3

＝

2 3

3

．