Question

如图所示，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE。（1）求证

如图所示，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形， 并在此条件下求sin∠CAE的值。

Answer 1

解：（1）证明：连结OD、DB， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， ∵E为BC边上的中点， ∴CE=EB=DE， ∴∠EDB=∠EBD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠EDB+∠ODB=∠EBD+ ∠OBD。 在Rt△ABC中，∠EBD+∠OBD=90°， ∴∠EDO=∠EDB+∠ODE=90°。 ∵D为⊙O上的点，∴DE是⊙O切线。 （2）解：欲使四边形AOED为平行四边形，只需DE=OA， ∵DE= BC，OA= AB， ∴ BC= AB，即BC=AB， ∴∠ABC=90°， ∴∠CAB=45°， 故当∠CAB=45°时，四边形AOED 是平行四边形  作EF⊥AC，垂足为F， 设CE=EB=ED=k， ∴AB=2k，∴DB= ，∴EF= 。 ∴AE=