Question

（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD

（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm 2 ，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE 2 =AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.

试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形； 由已知可得：S△ABF= AB?BF=24cm 2 ，则可得AB 2 +BF 2 =（AB+BF） 2 -2AB?BF=（AB+BF） 2 -2×48=AF 2 =100（cm 2 ），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长． 过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式． 试题解析： （1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO， 由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF， 在△AOE和△COF中， ∵  ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=AE=10cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴S△ABF= AB?BF=24cm 2 ， ∴AB?BF=48（cm 2 ）， ∴AB 2 +BF 2 =（AB+BF ）2 -2AB?BF=（AB+BF） 2 -2×48=AF 2 =100（cm 2 ）， ∴AB+BF=14（cm） ∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）． （3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点． 当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF ∴四边形AFCE是菱形． ∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP， 由作法得∠AEP=90°， ∴△AOE∽△AEP， ∴ ，则AE 2 =A0?AP， ∵四边形AFCE是菱形， ∴AO＝ AC， ∴AE 2 = AC?AP， ∴2AE 2 =AC?AP．