Question

已知，如图. 在 Rt△ABC 中∠C = 90°. ∠BAC的角平分线 AD 交BC边于D. (1)以AB边上一点O为圆心，过A

已知，如图. 在 Rt△ABC 中∠C = 90°. ∠BAC的角平分线 AD 交BC边于D. (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O (不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线 BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若(1)中的⊙O与AB 边的另一个交点为E ,AB = 6 , BD = 2 ，求线段 BD、BE 与劣弧DE所围成的图形面积. (结果保留根号和π)

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

Answer 1

解：(1)如图.作AD 的垂直平分线交AB于点O，O为圆心.OA为半径作圆. 判断结果：BC是⊙O的切线. 连接 OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAB.     ∵OA= OD， ∴∠ODA=∠DAB， ∴∠DAC = ∠ODA， ∴ OD // AC， ∴∠ODB= ∠C, ∵∠C= 90°， ∴∠ODB= 90°， 即：OD⊥BC， ∵OD是O的半径. ∴BC是⊙O的切线;

(2)如图.连接 DE.      设⊙O的半径为 r. 则 OB=6-r，     在Rt△ODB中，∠ODB= 90°，   ∴OB 2 =OD 2 +BD 2 ， 即：(6-r) 2 = r 2 +( 2      ∴r=2， ∴OB=4， ∴∠OBD=30°，∠DOB= 60°. ∵△ODB 的面积为 扇形ODE的面积为 ∴阴影部分的面积为