Question

如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线y=- 2 3 x 2 + 8 3 x上，

如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线y=- 2 3 x 2 + 8 3 x上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里．（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形的周长p关于变量x的函数的解析式，并写出x的取值范围；（2）是否存在这样的矩形ABCD，它的周长p=9？试证明你的结论．

Answer 1

（1）令- 2 3 x 2 + 8 3 x=0， 得：x 1 =0，x 2 =4， 则抛物线与坐标轴两交点的坐标为O（0，0）和E（4，0）， 设OB=x（0＜洞碰x＜2），由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x， P=2（4-2x+y）=2（4-2x- 2 3 x 2 + 8 3 x）=- 4 3 x 2 + 4 3 x+8（0＜x＜2）． （2）不存在． 先穗返假设存在周长为9的矩形ABCD，则- 4 3 x 2 + 4 3 x+8=9， 化简得：4x 2 -4x+3=0， 则有△=16-48＜0， ∴方程无实数根，即不存在这样猜颤饥的矩形．