Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax2+3

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax2+3是奇函数．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函数g（x）=-x³+bx+c+3是奇函数，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=

2

3

或x=-2，
 当x∈（-∞，-2）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈(?2，

2

3

)时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈(

2

3

，+∞)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
所以f（x）_极小=f（-2）=-11，f（x）_极大=f(

2

3

)＝?

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27

．．