Question

设圆满足下列条件: (1)被y轴截得的弦长为2, (2)被x轴分成两段弧,其弧长之比为3比1, (3)圆心到直线l:x-2y=0

离是5分之根号5.求圆的方程.谢谢

Answer 1

设圆心为P(a,b),半径为r,
则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故
r^2=2b
又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有
r^2=a^2+1
从而得
2b^2-a^2=1
又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=|a-2b|/根5
--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1
当a=b时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
由此有{a=b,2b^2-a^2=1}
--->a=b=1,或a=b=-1
由于r^2=2b^2,则r=根2
于是,所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.

Answer 2

(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.