Question

高二数学，要详细过程

1、若f(n)=[n²+1]-n，g(n)=n-[n²-1]，h(n)=1/(2n)，求f(n),g(n),h(n)的大小关系
2、设正数X,Y满足X+4Y=40，求lgX+lgY的最大值
3、等比数列中，a1+a2+a3=6, a2+a3+a4=-3, 求a3+a4+a5+a6+a7+a8的值

要解答过程~

Answer 1

1.
(1)n＝1时，
f(1)＝g(1)＝1>h(1)=0.5
(2)n≥2时，
f(n)＝n²-n+1=(n-0.5)²+0.75>1;
h(n)=1/(2n)∈(0，0.25]
g(n)＝(n+1)-n²<0
∴f(n)>h(n)>g(n)

2. X+4Y=40
x＝40-4Y＝4(10-Y)
XY＝4Y·(10-Y)≤4·[(Y+10-Y)/2]²＝100
lgX+lgY=lg(XY)≤lg100＝2
∴lgX+lgY≤2

3.
a1+a2+a3=6,
a2+a3+a4=q(a1+a2+a3)＝6q＝-3,
∴q=-1/2
a1+a2+a3＝a1·(1+q+q²)＝(3/4)a1＝6
∴a1＝8
an＝8*(-1/2)^(n-1)
a3+a4+a5+a6+a7+a8
＝q²·(a1+a2+a3+a4+a5+a6)
＝(1/4)·S6
＝(1/4)·[1-(-1/2)^6]/(1+1/2)]
＝21/128

Answer 2

1、①f(n)-g(n)=(n²+1)-n-n+(n²-1)=2n²-2n=2n(n-1)>0
所以，当n=1时，f(n)=g(n)；当n≥2时，f(n)>g(n)
②当n=1时，g(1)=1>h(1)=1/2；当n≥2时，g(n)<0(由二次函数的性质即可得)，h(n)>0，所以h(n)>g(n)
③f(n)-h(n)=(n²+1)-n-1/(2n)=(n²-n)+[1-1/(2n)]
因为n²-n≥0，1-1/(2n)>0，所以上式大于0，所以f(n)>h(n)
综上所述，当n=1时，f(n)=g(n)>h(n)；当n≥2时，f(n)>h(n)>g(n)。
2、40=X+4Y≥2√(X*4Y)，化简得XY≤100，所以
lgX+lgY=lg(XY)≤lg100=2
即lgX+lgY的最大值为2。
3、(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=(a1q+a2q+a3q)/(a1+a2+a3)=q(a1+a2+a3)/(a1+a2+a3)=q，
所以q= -3/6= -1/2，从而
a3+a4+a5+a6+a7+a8=(a3+a4+a5)+(a6+a7+a8)=(a1q²+a2q²+a3q²)+(a1q^5+a2q^5+a3q^5)
=(a1+a2+a3)q²+(a1+a2+a3)q^5
=(a1+a2+a3)(q²+q^5)
=6*[(-1/2)²+(-1/2)^5]
=21/16

Answer 3

1、f(n)-g(n)=n²+1-n-n+n²+1=2n²-2n+2 =2(n²-n+1/4) +2-1/2=2(n-1/2)^2+3/2>=3/2
f(n)>g(n)
g(n)-h(n)=n²+1-n-1/2n=n²+1-3/2n=(n-3/4)^2+1-9/16=(n-3/4)^2+7/16>=7/16
g(n)>h(n)
f(n)>g(n))>h(n)
2、
3、(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3)=-1/2 a1=8 an=((-1/2)^(n-1))*8
a3+a4+a5+a6+a7+a8=1/4 *8-1/8 *8+1/16 *8-1/32 *8+1/64 *8-1/128 *8=21/16