Question

微分和增量的关系？

Δx趋近0时，Δy和dy是等价无穷小，那为什么说后者是前者的线性主部，而不是反过来？

Answer 1

理解是没问题，国人写的教科书也确实喜欢故弄玄虚。但是你说教科书是错的微积分成书几百年云云就是扯淡了，请解释下拉格朗日中值定理？

举个例子，如果画个图，假设某曲线：f'（x）>0， f''（x）＞0，通过几何意义我们知道切线斜率大于0且递增。

那么作图后何为dx与△x呢，横坐标增量，因为对x求导，在微分中△x＝dx，记住是等于而不是等价于！这两个就是相同的东西！即△x只能趋近于0。而当我们不是讨论微分时我们△x可以趋近于任意数。这也就是为什么极限要加一个趋近于0，这不是多此一举也不是，某些人把数学的严谨性，把自己的不理解当成编写教科书的人的曲解错误，也是强大的自我逻辑。

而作图后的dy和△y就有区别了，如果我们取一个点x0，dy就是该点的切线的高度增量，而△y就是对应△x（dx）的实际增量。

所以当由y''（x）>0时我们可以知△y>dy>0，dx＝△x。这个结论无论是画图还是用拉格朗日中值定理的都可以证明。

而评论里dy在△x足够小的时候等于△y显然是不正确的。只能说△y无限近似于dy。

这也就很好理解线性主部这个问题了，切线当然是线性的。

附上一张图便于理解，如果还是不能理解，偏执，觉得教科书就是错的，编教科书都是死不认错，只有我自己是对的，那我也没办法了(●—●)

Answer 2

问得好！
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楼主应该要有一个心理准备，问多了，会成为众矢之的。
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1、微积分已经成熟了几百年了，但是，迄今为止，我们的大学教科书
上充满歪解、充满硬拗。对于我们的无厘头的方面，不能有丝毫质疑，
没有任何理性讨论的空间。
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2、就楼主的问题来说，
dx、dy 是无穷小，infinitesimal，这是毫无疑问的，d = differentiation；
但是 Δx、Δy 并不是无穷小，只是有限的小！仅仅是增量的概念！
导数的定义 dy/dx =
lim Δy/Δx
Δx→0
如果 Δx、Δy 是无穷小，导数的定义中就不需要 Δx→0 ，纯属多此一举啊？！
Δx→0 时，才是 dx！但是 Δx 不是无穷小！dx 才是无穷小！
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可是在我们的教科书，几乎本本在误导视听，本本牛头不对马嘴！
一方面胡扯 Δx 是无穷小，另一方面又对 Δy/Δx 取极限，趋近于0时才是 dy/dx。
出尔反尔、自相矛盾、无知无觉、无品无味！
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3、更荒唐的教科书上，还有 dy/Δx 的利令智昏、神智错乱的写法。
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如果楼主的英文能无需字典自由阅读的话，建议看原版微积分，事半而功百倍！
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就此打住，否则死无葬身之地。
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欢迎讨论，欢迎质疑，欢迎驳斥，还有批判。
只要言之成理，将会照单全收、虚心接受。
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Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

Answer 4

我觉得你们讨论的不是题主的问题呀，我也有同样的疑问，如下

Answer 5