Question

PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,PA=PB,连结OA,OB,OP (1)求证：△AOP≌△BOP

（2）设AC＝a，BD＝b，且a≠b，a与b满足a2－10a＋22＝0，
b2－10b＋22＝0
①求AC＋BD的值。
②若AP＝20，CD＝10，问△PCD的周长为▁▁▁▁▁▁
（3）过O作OC，OD分别交AP，BP于C、D两点，连结CD，
若△PCD周长为2AP，求证：OD平分∠BDC
(在字母后的2，表示为平方)

Answer 1

(1)
根据条件PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，可知△AOP与△BOP都是直角三角形
根据勾股定理，OA^2=OP^2-PA^2，OB^2=OP^2-PB^2
考虑到这里OA、OB、OP、PA、PB都是线段长度，是正数，且PA=PB，所以有OA=OB
那么对于两个直角三角形△AOP与△BOP，三条边分别对应相等
所以：△AOP≌△BOP

(2)
根据条件，a与b都是x^2-10x+22=0的解，考虑到a≠b，可得：
a=5-√3，b=5+√3 （或者a=5+√3，b=5-√3，但两种情形对称，可以归并为一种情形考虑）
所以：①AC+BD=a+b=10
②△PCD的周长是PC+PD+CD=PA-AC+PB-BD+CD=2PA-(AC+BD)+CD=40

(3)
根据(2)②的计算过程可知，当△PCD周长为2AP时，CD=AC+BD
对△OCD，根据余弦定理和勾股定理，并考虑到OA=OB，可得：
cos∠ODC=(OD^2+CD^2-OC^2)/(2×OD×CD)
=[OD^2+(AC+BD)^2-OC^2]/(2×OD×CD)
=[OD^2+BD^2+2×AC×BD-(OC^2-AC^2)]/(2×OD×CD)
=[OD^2+BD^2+2×AC×BD-OA^2]/(2×OD×CD)
=[(OD^2-OB^2)+BD^2+2×AC×BD]/(2×OD×CD)
=(2×BD^2+2×AC×BD)/(2×OD×CD)
=[BD×(AC+BD)]/(OD×CD)
=(BD×CD)/(OD×CD)
=BD/OD
而直角△OBD中，cos∠OBD=BD/OD
∴cos∠ODC=cos∠OBD
考虑到∠ODC与∠OBD都大于0°小于180°
∴∠ODC=∠OBD
∴OD平分∠BDC

Answer 2

1。连接AB 交PO与点M PA=PB PA⊥OA于点A,PB⊥OB于点B,因为 垂直平分线的判定：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。反过来成立。所以PM是AB的垂直平分线
角APO=角BPO，角A=角B
所以全等

Answer 3

（1）证明两直角△全等，应该不用我证了。
（2）①因为：△AOP≌△BOP ，又PA=PB，
由两方程的系数相同，可知：a,b的解相同，又已知a不等于b，
即：a1=b2;a2=b1.
根据韦达定理：
AC+BD=a1+b1(或a2+b1)=10.
②因为PA=PB,△PCD的周长=(PA-a)+(PB-b）+10=20-a+20-b+10=50-(a+b)=40.
（3）一时想不出来（呵呵）！

Answer 4

（1）证明：因为∠A=∠B=90°
所以：A、O、B、P四点共元
因为：AP=BP
所以：∠POA=∠POB （弦相等，弦所对的圆周角相等）
所以：△AOP≌△BOP （角角边全等）
（2）、解：
解方程a2-10a＋22=0和b2-10b＋22=0
得：a=5±√ 14，,b=5±√ 14
由于：a≠b
所以：a=5+√ 14时，b=5-√ 14；a=5-√ 14时，b=5+√ 14
所以：AC+BD=a+b=10
由已知得：CP=20-(5-√ 14)时，DP=20-(5+√ 14)，即CP+DP=30>10
所以：△PCD的周长是30+10=40
（3）由题意推出AC+BD=CD，因此：CD是以O为圆心，OA为半径的元的切线时（切点为G），才满足CD=CG+DG=AC+BD
所以：0D应平分∠BDC.