Question

（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP=60°，求∠OPB

（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°；
又∠AOP=60°，
∴∠APO=30°；
由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；
又OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（HL）；
∴∠OPB=∠OPA=30°．

（2）①证明：由（1）中知△PAO≌△PBO；
∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；
∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD；
∴AC=BD；
②延长射线PA到F使AF=BD，
∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；
∴△OAF≌△OBD；
∴OF=OD；
∵△PCD的周长为l，l=2AP，
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
又∵OC=OC，OF=OD；
∴△OFC≌△ODC（SSS）；
所以CF和CD边上所对应的高也应该相等．
过OE⊥CD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；
所以CD与⊙O相切．