Question

求方程组所确定的函数的导数或偏导数 x+y+z=0 x·y·z=1 求y对x的偏导 z对x的偏导

y对x的二阶偏导

Answer 1

解：三个未知数(x,y,z)，两个线性无关的方程组，则任意未知数都可以表为另外两个未知数的函数。也即，有y=y(x)，z=z(x)
事实上，这里求的应该是dy/dx，dz/dx，以及d²y/dx²，不应说成求偏导。
对第一个方程两边对x求导，得
1+dy/dx+dz/dx=0 ①
第二个方程两边对x求导，得
yz+x(dy/dx*z+x*dz/dx)=0
两边都乘以x，得
1+x²(dy/dx*z+x*dz/dx)=0 ②
联立①和②，解得
dy/dx=(1-x³)/[x²(x-z)]
dz/dx=(x²z-1)/[x²(x-z)]
则
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d{(1-x³)/[x²(x-z)]}/dx
=[-3x²*x²(x-z)+(1-x³)*(3x²-2xz-x²*dz/dx)]/[x²(x-z)]² （注意x²z对x求导时不要漏了x²*dz/dx项）
=…… （将dz/dx代入即可）
事实上，也可以将两个方程变形：
y+z=-x
yz=1/x
根据韦达定理，y和z为关于X的一元二方程的两个根：
X²+xX+1/x=0
也即y,z=[-x±√(x²-4/x)]/2
下面再求导是很简单的。
需要指出的是，求得的结果，形式上并不是唯一的。可充分利用两个等式条件进行变形。